\documentclass[12pt,annales]{profmath}
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\parskip=2mm
\begin{document}


\begin{flushright}
\underline{\textbf{Session 2004}}
\end{flushright}


\begin{center}
{\taille{18}\textbf{BACCALAUREAT TECHNOLOGIQUE}}

\vskip 14mm
{\taille{18}\textbf{SCIENCES ET TECHNOLOGIES INDUSTRIELLES}}

\vskip 18mm
{\taille{16}\textbf{GENIE DES MATÉRIAUX}}

{\taille{16}\textbf{GENIE MECANIQUE B, C, D, E}}

\vskip 2cm
{\taille{16}\textbf{MATHEMATIQUES}}

\end{center} 

\vskip 2cm

Durée de l'épreuve : 4 heures
\hfill
Coefficient : 4

\vskip 1cm
\textbf{Séries STI}

~~~~~-- Génie mécanique options :

{\parindent 2cm\hangindent 2cm
Systèmes Motorisés (B), Structures Métalliques (C), Bois et Matériaux Associés~(D), Matériaux Souples (E)\par}

~~~~~- Génie des Matériaux

\medskip
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Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

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\centerline{Ce sujet comporte 3 pages (y compris celle-ci).}

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\centerline{1/3}

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\textbf{4MA12ME1}

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\exer{5 points}

\qstssq Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : \qquad $z^2-6z+12 = 0$.
\ssq Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.

\qst Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Ouv, placer les points $A$, $B$ et $I$ d'affixes respectives
\\
$
z_A = 3 + \mathrm{i}\sqrt{3}
\qquad
z_B = 3 - \mathrm{i}\sqrt{3}
\qquad
\text{ et }
z_I = 2.
$

\ssq Montrer que les points $A$, $B$ et $O$ sont sur un cercle de centre $I$ dont on précisera le rayon.
\ssq Donner, en le justifiant, la nature du triangle $OAB$.
\ssq Placer le point $C$ d'affixe $z_c = -2 \mathrm{i}\sqrt{3}$.
Montrer que les points $A,$ $C$ et $I$ sont alignés.

\exer{4 points}

\qst Résoudre l'équation différentielle (E) : $4y''+9y=0$.


\qst On désigne par $f$ la solution particulière de l'équation différentielle (E) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=13mm,yunit=1cm}% pi/180 x 13 mm
\begin{pspicture}(-4,-3.2)(4,3.2)
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-4,-3)(4,3)
\psgrid[subgriddiv=1,griddots=5,gridlabels=0pt](-4,-3)(4,3)
\psplot{-4}{4}{85.944 x mul -45 add cos 2 mul}% 2 cos(1.5x - pi/4)
\psline[linestyle=dashed](0.524,0)(0.524,2)
\psline{<->}(-0.3,2)(1.348,2)
\rput(0.524,-0.5){$\frac{\pi}{6}$}
\rput(-0.3,2.5){$2$}
\rput(3.9,-0.3){$x$}
\rput(0.524,2.4){$A$}
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\end{pspicture}
\end{center}

\decalqst
Il est précisé que la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $A$ de coordonnées 
$\left(\dfrac{\strut\pi}{6}\,;\,2\right)$.
\\
Déterminer une expression de $f(x)$.

\qst Montrer que pour tout nombre réel $x$ : $f(x)=2\cos\left(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)$.

\qst Calculer 
$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{7\pi}{6}} f(x) \, \mathrm{d}x$.
Interpréter graphiquement le résultat.


\vfill
\centerline{2/3}

\hfill
\textbf{4MA12ME1}

\newpage

\pb{11 points}

Soit $f$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 2 + (2 - x) \e^{2x}$.

On désigne par $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij (unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).

\qst Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

\qstssq Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ (on pourra poser $X = 2x$).
\ssq En déduire que la courbe $\cal C$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une équation.
\ssq Étudier les positions relatives de $\cal C$ et $\Delta$.

\qstssq Montrer que, pour tout nombre réel $x$, 
$f'(x) = (3 - 2x) \e^{2x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de~$f$.
\ssq Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle \intoo{-\infty}{+\infty}.

\qstssq Donner une équation de la tangente $\cal T$ à $\cal C$ au point d'abscisse 0.
\ssq Tracer $\Delta$, $\cal T$ puis $\cal C$.

\qst Soit $G$ la fonction numérique définie pour tout nombre réel $x$ par 
$G(x) = -\dfrac{1}{2} \,x\,\e^{2x} + \dfrac{5}{4}\,\e^{2x}$.
\\
Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par
\linebreak
$g(x) = (2 - x)\e^{2x}$.

\qstssq Hachurer la partie $\cal A$ du plan limitée par $\cal C$, la droite d'équation $y = 2$ et les axes de coordonnées.

\ssq Calculer l'aire de  $\cal A$. En donner la valeur exacte en unités d'aire.
\\
Donner une valeur arrondie de cette aire, en cm$^{2}$, à $10^{-2}$ près.

\vfill
\centerline{3/3}

\hfill
\textbf{4MA12ME1}









\end{document}
